Если мода, медиана и средняя это центральные показатели, которые характеризуют что-то центральное, то эта глава посвящена показателям вариации, которые показывают размах статистической совокупности, как расположены варианты относительно друг друга. Изучим три понятия: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия.
Размах вариации – это разница между самым большим числом в вариационном ряду и самым маленьким.
𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛
Нахерачим в онлайн-рандоме 10 разных чисел от 10 до 50. Пускай это будет варианты:
| 37 | 50 | 29 | 35 | 36 | 12 | 27 | 26 | 46 | 32 |
Самое максимальное значение 50, а самое минимальное – 12. Размах вариации равен:
𝑅 = 50 − 12 = 38
Среднее линейное отклонение. Чтобы разобрать эту тему, сначала дадим понятие, что такое отклонение от средней.
Отклонение от средней – это разница какого-либо члена совокупности и среднего арифметического этой совокупности, то есть:
𝑥𝑖 − 𝑥̅
Давай найдём все отклонения от средней в примере выше. У нас тут 10 чисел, сначала найдём среднюю арифметическую:
Построим вариационный ряд в порядке возрастания, чтобы было проще.
| 𝑥1 | 𝑥2 | 𝑥3 | 𝑥4 | 𝑥5 | 𝑥6 | 𝑥7 | 𝑥8 | 𝑥9 | 𝑥10 |
| 12 | 26 | 27 | 29 | 32 | 35 | 36 | 37 | 46 | 50 |
Найдём отклонения от средней каждого варианта:
12 − 33 = −21
26 − 33 = −7
27 − 33 = −6
29 − 33 = −4
32 − 33 = −1
35 − 33 = 2
36 − 33 = 3
37 − 33 = 4
46 − 33 = 13
50 − 33 = 17
Чтобы найти среднее линейное отклонение, надо просуммировать все эти отклонения от средней и поделить на количество вариант. НО надо обязательно УБРАТЬ минусы! Иначе мы в сумме получим 0. То есть, мы все отклонения от средней возьмем в МОДУЛЬ!
Получается, что среднее линейное отклонение равняется 7.8. Что означает это число? Она говорит о среднем различии каждого члена от средней арифметической всех вариантов. Иначе говоря, показывает рассеянность значений.
А если взять значения отклонений в квадрат, то не надо будет и минус убирать, ведь квадрат всегда даёт положительное число. Но эта величина будет называться уже дисперсией, а не средним линейным отклонением.
Дисперсия данного вариационного ряда равна 103. Общая формула среднего линейного отклонения и дисперсии следующая:
Тут надо понимать, что такая формула подойдет только если даны такие данные, как в примере выше, то есть «беспорядочные», а если есть определенный порядок и выстроен вариационный ряд с частотами, то формула будет другая. Например, для такого вариационного ряда:
| 𝑥𝑖 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 𝑛𝑖 | 4 | 3 | 9 | 7 | 5 |
Формулы будут такими:
То есть почти такие формулы, только в числителе каждый варианта домножается на свою частоту. Для расчёта дисперсии также можно использовать и другую формулу:
Говоря словами, дисперсия равна разности средней арифметической квадратов всех вариант статистической совокупности и квадрата средней самих этих вариант. Давай на примере, так точно поймешь. Возьмём простенький пример, даны следующие значения:
| 6 | 7 | 9 | 12 | 15 |
Вычислить дисперсию данной совокупности.
Для начала надо найти среднюю арифметическую:
Теперь квадраты каждого члена:
| 6 | 7 | 9 | 12 | 15 |
| 36 | 49 | 81 | 144 | 255 |
Надо найти среднюю арифметическую квадратов:
Найдем дисперсию по формуле:
Дисперсия равная 16.69 (квадратных единиц (!), так как мы все производили в квадрате).
Ещё одна задачка: у 100 человек проверили давление и записывали данные только по систолическому артериальному давлению (САД). Получены следующие данные:
| САД | Количество человек |
| 100 − 120 | 21 |
| 120 − 140 | 52 |
| 140 − 160 | 12 |
| 160 − 180 | 8 |
| 180 − 200 | 7 |
Задача: вычислить дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
Нам почти дан готовый вариационный интервальный ряд. Немного преобразуем в математический вид и сразу же напишем середины интервалов.
| Интервалы | 𝒙𝒊 | 𝒏𝒊 |
| 100 − 120 | 110 | 21 |
| 120 − 140 | 130 | 52 |
| 140 − 160 | 150 | 12 |
| 160 − 180 | 170 | 8 |
| 180 − 200 | 190 | 7 |
Середины интервалов (иксы) мы примем как варианты и будем вычислять показатели с помощью них. Сначала находим среднюю арифметическую для вариационного ряда с частотами:
Возводим каждый член в квадрат, ВАЖНО мы возводим в квадрат именно иксы, то есть сами варианты, а частоты сохраняем! То есть:
Теперь вычислим дисперсию:
Дисперсия равно 480.64. Помните о квадратных единицах? Не забывайте. И чтобы избавиться от этой «квадратности», надо дисперсию взять под квадратный корень
Это новое число 21.9 называется средним квадратичным отклонением. То есть:
Все просто😊
Чем выше среднее квадратичное отклонение, тем выше вариация, то есть разброс величин относительно средней арифметической. У нас это примерно 21.9, что логично, ведь давление же.
Ещё одно понятие: это коэффициент вариации. Тоже ничего сложного, коэффициент вариации равен отношению среднего квадратичного отклонения к среднему арифметическому:
Часто выражают в процентах, поэтому будет 16,15%. Показатель меньше 30% уже хорошо, это значит что наша выборка (100 пациентов) хорошо показывают генеральную совокупность (все люди в мире). Иначе говоря, показатели хорошо сходятся к средней арифметической, располагаются к ней близко. Такая статистическая совокупность считается однородной. А если коэффициент вариации выше 30%, то совокупность считается неоднородной. На этом мы заканчиваем данную главу😊
Контакты
Спасибо, что читаешь эти строки, друг!
Если эта методичка попалась тебе бесплатно и тебе она понравилась, то можешь немного закинуть на хлеб автору:
Сбер − 𝟒𝟐𝟕𝟔 𝟑𝟖𝟎𝟏 𝟕𝟕𝟕𝟎 𝟓𝟐𝟕𝟗 (Эдгар Ервандович)
Мой паблик по гисте: vk.com/hystology
Моя страничка в VK: vk.com/hayk4500
Telegram: @Hayk4500
Паблик «Поясни за мед»:
https://vk.com/poyasni_za_med
https://t.me/poyasni_za_med
