В интервальном ряде немного отличается способ вычисления средней, моды и медианы. Даны значения «в разнобой», без сортировки и без интервалов готовых. Например, прошли 30 аптек и спрашивали цену на пару стерильных перчаток. Получили следующие данные (в рублях):
| 19 | 19 | 15 | 25 | 21 | 13 | 22 | 23 | 15 | 10 |
| 25 | 11 | 11 | 17 | 15 | 11 | 17 | 23 | 21 | 16 |
| 17 | 12 | 10 | 19 | 11 | 25 | 10 | 18 | 19 | 13 |
Сортируем в порядке возрастания сразу, удобства ради.
| 10 | 10 | 10 | 11 | 11 | 11 | 11 | 12 | 13 | 13 |
| 15 | 15 | 15 | 16 | 17 | 17 | 17 | 18 | 19 | 19 |
| 19 | 19 | 21 | 21 | 22 | 23 | 23 | 25 | 25 | 25 |
Тогда среднее будет:
Значок ∑ означает сумма. Во весь «рост» она выглядит так:
Тут буква 𝑛 над ней показывает верхнюю границу суммирования (в данном случае 30), а нижняя 𝑖 — нижнюю границу суммирования (то есть, начиная с 𝑥1). Зачем нужен этот знак? А чтобы не нагромождать и не насиловать глаза, опять же. Вот тебе короткий пример, чтобы ты понял суть значка суммы и её применение:
А в нашей задачке это так:
Надеюсь, теперь вы не будете бояться этого большого значка😊 Его можно использовать где угодно, особенно если есть нагромождение суммы чисел.
А вот моду считать, мягко говоря, бесполезно. Почему? Потому что эти данные больше смахивают на интервальный ряд, а не дискретный, так как цена – понятие расплывчатое и округленное. Поэтому для более достоверного анализа, надо сначала найти модальный интервал, а потом моду.
Модальный интервал – это интервал с самой большой частотой. То есть это аналог моды для дискретных величин. Чтобы его найти, сначала надо составить интервалы. Воспользуемся рекомендованной формулой Стерджесса:
𝑘 = 1 + 3.322 lg 𝑁
𝑘 = 1 + 3.322 lg 30 = 1 + 3.322 ∗ 1.48 = 1 + 4.9 = 5.9 ≈ 5
Надо взять 5 интервалов (округляем в меньшую сторону). Теперь посмотрим, какие интервалы будем брать. Размах вариации равен:
𝑥30 − 𝑥1 = 25 − 10 = 15
Значит, интервалы будут равны:
Значит, возьмем интервалы по 3 рубля, получается следующая табличка:
Для удобства и понимания, ещё раз данные:
Получается, что модальный интервал – это интервал 10 − 13, так как он самый частый (8 раз). Для дальнейших вычислении нам надо найти средние интервалы, каждого интервала. Средний интервал обозначается буквой 𝑥𝑖 как вариант.
| Интервалы | 𝒏𝒊 | 𝒙𝒊 |
| 10 − 13 | 8 | 11.5 |
| 13 − 16 | 5 | 14.5 |
| 16 − 19 | 5 | 17.5 |
| 19 − 22 | 6 | 20.5 |
| 22 − 25 | 6 | 23.5 |
| ∑ 𝑛𝑖 = 30 |
Как ты понял, чтобы найти средний интервал надо сложить границы самого интервала и поделить на двойку. Чтобы вычислить моду интервального ряда, нужно воспользоваться вот такой формулой.
Тут:
𝑥0 — это нижняя граница модального интервала (здесь 10)
ℎ — это сам интервал (длина) модального интервала (здесь 3)
𝑛𝑀 — это частота модального интервала (здесь 8)
𝑛𝑀−1 — это частота предыдущего интервала (у нас нет предыдущего интервала, поэтому будет равен 0)
𝑛𝑀−1 — это частота следующего интервала (здесь 5).
Итак, подставляем все и решаем:
Значит, мода данного интервального вариационного ряда равна 12.19.
Кстати! По средним интервалам также можно вычислить среднюю, но она будет отличаться от средней, которая вычислялась «вручную» перебирая каждый вариант.
Как видим сейчас получилось 17.2, а выше мы получили 16.77, всё-таки не слишком большая разница. А вот мода достаточно хорошо отличается. Осталось вычислить медиану.
Чтобы найти медиану, сначала надо найти медианный интервал. Это интервал, в котором находится варианта (или 2 варианта), которая делит вариационный ряд на две равные части. Известно, что у нас 30 вариантов, значит медианные варианты это 15 и 16 (так как количество вариант четное). Теперь надо найти, в каком интервале находятся 15 и 16 варианты. Чтобы понять в каком интервале медианные варианты по таблице, добавим новую колонку «накопление вариант», которая показывает, сколько уже вариантов (частот) накопилось с предыдущих значений. Выглядит это так:
| Интервалы | 𝒏𝒊 | 𝒙𝒊 | Накопление вариант 𝒏н |
| 10 − 13 | 8 | 11.5 | 8 |
| 13 − 16 | 5 | 14.5 | 8 + 5 = 13 |
| 16 − 19 | 5 | 17.5 | 13 + 5 = 18 |
| 19 − 22 | 6 | 20.5 | 18 + 6 = 24 |
| 22 − 25 | 6 | 23.5 | 24 + 6 = 30 |
| ∑ 𝑛𝑖 = 30 |
Вот оно, 18 накопленных вариант в интервале 16-19 находится, следовательно, там находятся и медианные варианты 15-16. Значит, интервал 16-19 есть медианный интервал. Теперь мы можем вычислить медиану интервального вариационного ряда с помощью формулы:
В формуле:
𝑥0 — это нижняя граница медианного интервала (здесь 16)
ℎ — это длина медианного интервала (здесь 3)
𝑛 — это объем всей совокупности, количество вариант (здесь 30)
𝑛𝑚 — это частота медианного интервала (здесь 8)
– это накопленная частота предыдущего интервала (здесь 13)
Подставляя все в формулу, получаем:
Медиана равна 16.75 рублей.
NB! Важное примечание под конец главы: средняя, мода и медиана могут быть как выборочной, так и генеральной. То есть, рассчитываться как для выборки, так и для всей генеральной совокупности.
Ой всё, давай к следующей главе.