Мода, медиана и средняя

В этой главе изучим сразу три понятия: мода, медиана и средняя. Приведем пример дискретного вариационного ряда и будем разбирать эти три понятия на нём.

Группе студентов приспичило спросить у всей своей группы, на какую оценки они сдали анатомию и получили следующие данные: 4, 3, 5, 5, 4, 5, 3, 4, 5, 3, 5, 4, 3, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 4, 3, 5, 5, 3, 3, 4, 3, 5, 4, 4, 4, 4, 3, 5, 4, 4, 4.

Задание: узнать моду, медиану и среднюю.

Мода – это самый часто встречающееся вариант, то есть варианта с максимальной частотой. Чтобы найти моду в этой задаче, надо составить табличку и указать, с какой частотой каждая оценка встречается:

То есть, среди всех опрошенных десять человек сдали на тройку, шестнадцать человек сдали на четверку, и одиннадцать человек сдали на пятерку. Чтобы не просраться с подсчетом оценок, надо посчитать общее количество оценок и сверить количество данных, иначе есть риск что-то пропустить. Получается, что общее количество опрошенных: 10+16+11=37. Сверяем с тем, что нам дали в задаче, все чётко)

Итак, мода это самый часто встречающиеся вариант. Получается что мода в данной задачке равняется 4, так он встречается аж 16 раз!. Говоря математическим языком:

𝑀₀ = 4

Кстати, ещё один способ найти моду, это построить полигон частот. Тогда мода будет самой высокой точкой на графике (не 16, а 4).

Медиана – это значение, которое делит вариационный ряд на две равные части. Чтобы найти медиану, надо сначала построить ряд в порядке возрастания (или убывания) и найти середину.

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

У нас всего 37 значений. Поэтому медианой выступит число 4, которая находится здесь:

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 𝟒 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

Почему? Потому что слева и справа от него находятся по 18 чисел. Итак, медиана тоже равняется 4 и математически выглядит так:

𝑀_𝑒 = 4

Есть и другой способ нахождения медианы, математический. Для того, чтобы найти медиану в нашей задачи путем расчета, а не изнасилования глаз, надо всю совокупность поделим пополам и округлить значение в большую сторону.

37 / 2 = 18.5 = 19

То есть мы берём 19ое значение УПОРЯДОЧЕННОГО ряда, это и будет медианой. НО это работает, если совокупность содержит НЕЧЕТНОЕ количество чисел. Если совокупность содержит ЧЕТНОЕ количество чисел (например, 50), то:

Объясняя простым языком, мы сначала делим совокупность на 2, а потом значение этого числа плюсуем к значению следующего числа и делим на двойку (находим среднее значение этих двух чисел). Вот пример, чтобы ты понял. Даны 14 чисел:

5 9 2 4 1 9 5 4 2 5 5 1 9 4

ОБЯЗАТЕЛЬНО упорядочиваем!

1 1 2 2 4 4 4 5 5 5 5 9 9 9

Если находим вручную серединку, то получается так:

1 1 2 2 4 4 𝟒 𝟓 5 5 5 9 9 9

То есть от этих чисел слева и справа находятся равное количество чисел – 6. Медиана этого ряда будет равна:

Решаем найти медиану математическим путём, сначала делим общее количество совокупности (14) на 2.

14 / 2 = 7

То есть надо взять 𝑥₇ плюсануть следующее число 𝑥₈ и поделить на двойку . Вот так просто, ничего сложного😊

Теперь поговори о среднем. Дело в том, что средняя – это обычное среднее арифметическое. Вот так вот просто. Давайте найдем среднее арифметической в нашей задаче на оценки по анату, напомню, данные были следующие:

Среднее этой совокупности будет равняться:

Итого получается: средняя равна 4.03, мода равна 4, а медиана равна 4.

𝑥̅ = 4.03,          𝑀₀ = 4,         𝑀𝑒 = 4

Если все эти три значения очень похожи (близки), то это говорит о достоверности наших выводов о том, что в основном в группе – хорошисты по анатомии. Если говорится о выборке, то эти три значения показывают её репрезентативность относительно генеральной совокупности. Иначе говоря, генеральная совокупность почти точно такая же, как и выборка, если средняя, мода и медиана очень близко находятся. Именно поэтому мы и изучаем помимо средней арифметической также моду и медиану, чтобы понять, а ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ли наши выводы правильные относительно того или иного явления. Если мода или медиана нихрена не соответствуют средней арифметической, то очень трудно назвать эти данные репрезентативными и корректными.

Приведем шикарный для России пример. Зарплаты специалистов в России в какой-то стране такие:

Посчитаем среднюю арифметическую, то есть среднюю зарплату гражданина страны (сокращу до тысячных):

То есть средняя зарплата в стране: 84000 рублей, вполне неплохо правда? Но только тупой не поймет, в чем подвох то. Упорядочиваем значения зарплат:

Моду, к сожалению, точно нельзя найти, ведь у нас все значения разные и встречаются только по одному разу. НО если брать ИНТЕРВАЛЫ, то получается что самый частый интервал приходится на [20000;50000] например, а не на [100000;500000]. А медиана равна:

Получается так:

𝑥̅ = 84000,          𝑀0 = [20000; 50000],         𝑀𝑒 = 35500

То есть средняя вообще нифига не близко находится к моде и медиане, что толкает на мысль о ЛОЖНОМ выводе, что устроившись на какую-либо работу, ты будешь в среднем получать 84 косаря. Вот и смысл моды и медианы – чувствовать, где тебя наёбывают.

NB! Тут мода с зарплатами не совсем корректная, но я так написал для общего понимания. В следующей главе мы разберем моду для интервального вариационного ряда.